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数学的帰納法

(A)
1匹のネズミがいたとする。
一匹なのだから色は一種類である。

(B)
任意のN匹のネズミの色が同色だと仮定すると、
任意のN+1匹のネズミの色は同色である。
なぜなら、N+1匹のネズミのうち1匹を適当に除外すれば
仮定から残りN匹の色は同色である。
また先ほど除外した1匹とは別のネズミを除外すれば、
残りのN匹の色はやはり同色である。
よって任意のN+1匹のネズミの色は同色である。

上記の(A)と(B)を元に
数学的帰納法を使うと、
任意のネズミは同色になる。

…この論述の流れはどこがおかしいか。

数学的帰納法

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結城浩
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コメント (18)

最新コメント5件

2002/12/19

dedekind_cut 長江さんは「任意のN匹のネズミの色が同色だと仮定すると」ってのを誤読しているような。ここで任意って言ってるのは、N が任意って言ってるのでなく、N 匹のネズミと言ってもいろんな組み合わせがあるわけで、それら全ての場合にって意味で任意って言ってるのかと。例えば、任意の3人の人間は何々であるならば、 {山田,田中,中山} も {鈴木,佐藤,田中} も3人の人間なので何々である、っていうような意味で任意ってことです。証明すべきことは、任意の N に対して、任意の N 匹のネズミは同色 (⇔ 任意のネズミは同色) となる。

dedekind_cut なんかややこしくて、わかりずらいかもしれないので、もう少し例を挙げると、例えば、任意の N に対して同色の N 匹のネズミが存在する、ってのは真ですよね。数学の記号で書くと、∀N∃X (XはN匹 ∧ Xは同色) は真ってことです。

dedekind_cut それで、(B)の仮定は ∀X(XはN匹⇒Xは同色) ってことですが、このXは任意(∀X)ってとこをNは任意(∀N)って読み間違ってるのかと。∀N(XはN匹⇒Xは同色) (⇔ Xは同色) が正しいという仮定だと。

永江良一 まちがえました。 任意のN匹についてとってはいけないのですね。 こうとると、これはそもそも数学的帰納法の呈をなしていない。 任意にとったN匹のネズミとしなければなりませんでした。 そうすると(B)の論証はN>=2のときにはなりたつけれど、N=1のときには必ずしも成り立たない。dedekind_cutさんの言う通りです。 それで「(A)N=1のときなり立つ」と「(B)Nのとき成り立つならN+1のときも成り立つ。ただしN>=2のときね」というのからは数学帰納法は成り立ちません。それをさも成り立っているように見せかけるのが手品の種だというわけですね。 それで成り立つようにN>=2のときにかぎってやると 任意にとった2匹のネズミは同じ色だと仮定したとき (A)任意にとった2匹のネズミは同じ色である (B)任意のN匹のネズミが同じ色ならN+1匹のネズミも同じいろである から数学的帰納法により任意のネズミは同じ色であるとなるので 任意にとった2匹のネズミが同じ色なら、どのネズミも同じ色だというあんまり面白くもない命題が証明されることになるだけですね。

2002/12/20

dedekind_cut うん。そういうことっすね。

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